京大2012年度理系数学第4問
京大2012年度理系数学第4問
（１）2の3乗根が無理数であることを照明せよ。
（２）P(x) は有理数を係数とする x の多項式で、P(2の3乗根）=0 を満たしているとする。このとき P(x) は x^3-2 で割り切れることを証明せよ。
（１）省略（教科書レベルである）。
（２）2の3乗根=kと置く。
多項式の除法の定義から、
P(x)=(x^3-2)Q(x)+ax^2+bx+c (a, b, cは有理数）
と表せる。以下、
ak^2+bk+c=0 ……☆
であることを示す。
c=-(ak^2+bk)=-k(ak+b)
となる。
ここで c は有理数より、
ak+b=sk (sは有理数）
⇔(s-a)k=b
であることが必要。このとき、
s-a≠0
と仮定すると、
k=b/(s-a)=（有理数）
となり、これは k が無理数であることに反する（なお、k が無理数であることは（１）の結果である）。よって、
s-a=0
であるから
b=0
となる。
次に、b=0 とした上で、
☆⇔ak^2+c=0
⇔ak~3+ck=0
⇔2a+ck=0
⇔ck=-2a
が成り立つ。ここで c≠0 と仮定すると、
k=-2a/c＝（有理数）
となり、これは k が無理数であることに反する。よって、
c=0
となる。
最後に、b=c=0 とした上で、
☆⇔ak^2=0
⇔ak^3=0
⇔2a=0
⇔a=0
となる。
以上より、a=b=c=0 であるから、☆が成り立つ。
以下は感想。
この問題でまずなすべきは、問題文中に「P(x) は x^3-2 で割り切れることを証明せよ」と書かれてあるのだから多項式の除法の定義にしたがって P(x) を書き表してみることと思う。その上で、問題文中の「P(2の3乗根）=0」という部分を数式で表現してみれば
「ak^2+bk+c （a, b, c は回答者が勝手に設定した適当な有理数）が0にならないといけないはずだが、果たして本当にそうなるのだろうか。よし、a, b, c の特徴について調べてみよう」と次へのステップが開けてくると思う。
すると、私としてはまず、「 c について調べてみよう」と思った。なぜならば a, b と違い、 k が唯一ついていない有理数であるからである。ただし、これは何となく、他の有理数 a, b に比べて扱いやすそうだからと思った程度の動機である。そこで c について表せるよう☆を同値変形してみた。
すると、
c=-k(ak+b)
というように、よくよく見れば左辺は有理数であるが、右辺は本当に有理数と見えるのか、妙な掛け算が登場したことに気がついた。（１）の結果から k は無理数だし、右辺が有理数になるためには ak+b がどうしても k の有理数倍になることが必要になってくると思えたのであった。これはちょうど、例えば、√2 に何をかけたら有理数になるでしょうかという質問があったらどうすればいいのか少し考えてみれば理解してもらえると思う。
ここまでは実は a, b, c について考察するべきだと大まかな方針が立ってたとはいえ、式を眺めつつ変なところがないか観察してできあがったその場しのぎの思い付きである。それからも同様にその場でしばらく悩みながら思い続けて進めていた。
さて、前述のように
ak+b=sk(sは適当な有理数）
と書けることが必要となり、このとき、先のcについてのように今度はbが何の係数もついていない。じゃあ、bについて考えてみるかとして
b=sk-ak=(s-a)k
となった。このとき、bは有理数なんだから s-a=0 じゃないとダメだ、すると b=0 になってくれるとひらめいた。
後は同じような作業をすれば a=c=0 は出せるだろうと思い、ようやく気楽になり、ようやく答案がかけ始めたわけでした。
やった一連の作業を抽象的に言うと、
１．問題文中の日本語表現を教科書レベルの数式表現を用いて表現してみる
２．定義に従って考えてみる
３．次にどのような問題が生じているのか、その問題点を見てみる
４．問題点をクローズアップしていく
ということでした。
なお、本問に対する解答を自分のようにしている人はネットで散見する限りではいないようでした。ちなみにネットでの他人の解答解説を読んでもやろうとしたり言ったりしていることが私にはよくわかりませんでした。また、印刷物として世に出回っているのかもしれませんが、そのようなものは全く私の手元にありません。大学への数学や青本や赤本だともっと素直なよい解答が載っているのでしょうか。ちなみに問題文はネットで拾いました。
余計ですが、本問は見事に高校教科書レベルのことからしか出されていないなーということにちょっと感動しました。
